Intervalles de confiance – Cours complet ECG (Chapitre XIII)

Introduction

Les intervalles de confiance sont un passage délicat du programme de probabilités en ECG. Ce chapitre arrive souvent en fin d’année, et les élèves peinent à distinguer les différentes méthodes de construction (Bienaymé-Tchebychev vs. théorème central limite) et à interpréter correctement les résultats.

Ce document reprend l’intégralité du cours avec des explications pas à pas, des exemples concrets et un tableau comparatif des méthodes. Vous y trouverez également un formulaire récapitulatif avec les trois formules clés à maîtriser pour les concours.

Pourquoi les intervalles de confiance ?

Lorsqu’on réalise un sondage ou une expérience, on cherche souvent à estimer un paramètre inconnu $\theta$ (par exemple, la proportion $p$ de personnes favorables à une mesure).

À partir d’un échantillon $(X_1,X_2,\dots,X_n)$ , on peut calculer un estimateur ponctuel $T_n$ de $\theta$ . Mais donner une seule valeur ne suffit pas : on a besoin de savoir à quel point cette estimation est fiable.

L’idée clé

Un intervalle de confiance est un intervalle aléatoire $[U_n,V_n]$ qui « capture » le vrai paramètre $\theta$ avec une probabilité contrôlée. Par exemple, dire « $p$ est dans $[0{,}42\,;\,0{,}48]$ avec une confiance de $95\,\%$ » est beaucoup plus informatif que de dire simplement « $\widehat{p}=0{,}45$ ».

Plan du chapitre :

Définition d’un intervalle de confiance
Construction par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Intervalle de confiance pour la moyenne (loi normale, $\sigma$ connu)
Intervalles de confiance asymptotiques et théorème central limite

1. Intervalle de confiance : définition

1.1 Cadre général

On se place dans le cadre classique de l’estimation :

on dispose d’un $n$ -échantillon $(X_1,\dots,X_n)$ de loi dépendant d’un paramètre $\theta\in\Theta$ ;
on souhaite estimer une fonction $g(\theta)$ du paramètre ;
on cherche deux statistiques $U_n=U_n(X_1,\dots,X_n)$ et $V_n=V_n(X_1,\dots,X_n)$ telles que $g(\theta)$ tombe dans $[U_n,V_n]$ avec une probabilité au moins $1-\alpha$ .

Intervalle de confiance

Soit $\alpha\in\,]0,1[$ . Soient $U_n$ et $V_n$ deux estimateurs de $g(\theta)$ tels que, pour tout $\theta\in\Theta$ :

$\boxed{\mathbb{P}_\theta\big(g(\theta)\in[U_n,V_n]\big)\geqslant1-\alpha.}$

On dit que l’intervalle $[U_n,V_n]$ est un intervalle de confiance de $g(\theta)$ au niveau de confiance au moins $1-\alpha$ (ou avec un risque d’au plus $\alpha$ ).

1.2 Vocabulaire et conventions

Bien comprendre les termes

$\alpha$ est le risque (ou seuil de signification) : c’est la probabilité maximale de « rater » le vrai paramètre.
$1-\alpha$ est le niveau de confiance : c’est la probabilité minimale de capturer $g(\theta)$ .
En pratique, on utilise souvent $\alpha=0{,}05$ (confiance $95\,\%$ ) ou $\alpha=0{,}01$ (confiance $99\,\%$ ).

⚠ Attention : ce que ça ne veut pas dire

Un intervalle de confiance à $95\,\%$ ne signifie pas que « $g(\theta)$ a $95\,\%$ de chances d’être dans l’intervalle ». Le paramètre $g(\theta)$ est fixe (mais inconnu). C’est l’intervalle $[U_n,V_n]$ qui est aléatoire : si on répétait l’expérience un grand nombre de fois, environ $95\,\%$ des intervalles construits contiendraient le vrai paramètre.

1.3 En pratique

Concrètement, on part d’un échantillon observé $(x_1,x_2,\dots,x_n)$ et on calcule : $u_n=U_n(x_1,\dots,x_n)$ et $v_n=V_n(x_1,\dots,x_n)$ . L’intervalle numérique $[u_n,v_n]$ est une réalisation de l’intervalle aléatoire $[U_n,V_n]$ : c’est elle que l’on communique.

2. Construction par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev

2.1 Rappel de l’inégalité

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Soit $T_n$ une variable aléatoire admettant une variance. Pour tout $\varepsilon>0$ :

$\boxed{\mathbb{P}_\theta\big(|T_n-\mathbb{E}_\theta(T_n)|\geqslant\varepsilon\big)\leqslant\frac{\mathbb{V}_\theta(T_n)}{\varepsilon^2}.}$

2.2 Construction de l’intervalle

Idée : on part de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev et on la « retourne » pour obtenir un encadrement de $g(\theta)$ .

Étape 1 : en passant au complémentaire, on obtient :

$\mathbb{P}_\theta\big(|T_n-\mathbb{E}_\theta(T_n)|<\varepsilon\big)\geqslant1-\frac{\mathbb{V}_\theta(T_n)}{\varepsilon^2}.$

Étape 2 : si $T_n$ est un estimateur sans biais de $g(\theta)$ , c’est-à-dire $\mathbb{E}_\theta(T_n)=g(\theta)$ , on obtient :

$\mathbb{P}_\theta\big(|T_n-g(\theta)|<\varepsilon\big)\geqslant1-\frac{\mathbb{V}_\theta(T_n)}{\varepsilon^2}.$

Étape 3 : si l’on peut choisir $\varepsilon$ (ou $n$ ) tel que $\dfrac{\mathbb{V}_\theta(T_n)}{\varepsilon^2}\leqslant\alpha$ , alors :

$\boxed{\mathbb{P}_\theta\big(T_n-\varepsilon\leqslant g(\theta)\leqslant T_n+\varepsilon\big)\geqslant1-\alpha.}$

Méthode : intervalle via Bienaymé-Tchebychev

Si $T_n$ est un estimateur sans biais de $g(\theta)$ , l’intervalle de confiance est :

$[T_n-\varepsilon,\ T_n+\varepsilon]\qquad\text{de longueur }2\varepsilon,$

avec $\varepsilon$ déterminé par la condition $\dfrac{\mathbb{V}_\theta(T_n)}{\varepsilon^2}\leqslant\alpha$ .

2.3 Exemple : estimation de p pour une loi de Bernoulli

Sondage : intervalle pour le paramètre p

Contexte. On réalise un sondage auprès de $n$ personnes. Chaque personne répond oui (1) ou non (0) de manière indépendante, avec probabilité $p$ de répondre oui. On note $X_i$ la réponse de la $i$ -ème personne.

Modèle. Chaque $X_i$ suit une loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ , et les $X_i$ sont indépendantes. On a : $\mathbb{E}(X_i)=p$ et $\mathbb{V}(X_i)=p(1-p)$ .

Estimateur naturel. On utilise la moyenne empirique $\overline{X}_n=\dfrac1n\displaystyle\sum_{k=1}^{n}X_k$ . C’est un estimateur sans biais de $p$ , et : $\mathbb{E}(\overline{X}_n)=p$ , $\mathbb{V}(\overline{X}_n)=\dfrac{p(1-p)}{n}$ .

Application de Bienaymé-Tchebychev. L’inégalité donne : $\mathbb{P}\big(|\overline{X}_n-p|\leqslant\varepsilon\big)\geqslant1-\dfrac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}$ .

L’astuce clé. Le problème est que $p(1-p)$ dépend de $p$ , qui est inconnu ! On utilise alors le fait que $0\leqslant p(1-p)\leqslant\dfrac14$ pour tout $p\in[0,1]$ , ce qui donne la majoration : $\mathbb{P}\big(|\overline{X}_n-p|\leqslant\varepsilon\big)\geqslant1-\dfrac{1}{4n\varepsilon^2}$ .

Choix de $\varepsilon$ . On veut que le membre de droite soit égal à $1-\alpha$ , donc : $\dfrac{1}{4n\varepsilon^2}=\alpha\iff\varepsilon=\dfrac{1}{2\sqrt{n\alpha}}$ .

Conclusion. L’intervalle de confiance de $p$ au niveau $1-\alpha$ est :

$\boxed{\Big[\overline{X}_n-\frac{1}{2\sqrt{n\alpha}}\,,\ \overline{X}_n+\frac{1}{2\sqrt{n\alpha}}\Big].}$

Application numérique. Pour $\alpha=0{,}05$ et $n=100$ : $\varepsilon=\dfrac{1}{2\sqrt{100\times0{,}05}}=\dfrac{1}{2\sqrt5}\approx0{,}22$ . On obtient l’intervalle $[\overline{X}_n-0{,}22\,;\,\overline{X}_n+0{,}22]$ avec un niveau de confiance de $95\,\%$ .

Remarque : cet intervalle est assez large (amplitude $2\times0{,}22=0{,}44$ , soit une marge de $\pm0{,}22$ autour de $\overline{X}_n$ ) ! C’est le prix à payer pour n’utiliser que l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, qui est très générale mais peu précise. On verra que le théorème central limite permet de faire beaucoup mieux.

3. Intervalle de confiance pour la moyenne d’une loi normale

3.1 Cadre et hypothèses

On se place maintenant dans un cadre plus précis : on connaît la loi des observations.

Hypothèses :

$(X_1,X_2,\dots,X_n)$ est un $n$ -échantillon issu d’une loi normale $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ ;
l’écart type $\sigma$ est connu ;
l’espérance $\mu$ est inconnue : c’est elle que l’on cherche à estimer.

3.2 La moyenne empirique et sa loi

La moyenne empirique $\overline{X}_n=\dfrac1n\displaystyle\sum_{k=1}^{n}X_k$ est un estimateur sans biais et convergent de $\mu$ . Grâce à la stabilité de la loi normale par combinaison linéaire, on sait que :

$\boxed{\overline{X}_n\sim\mathcal{N}\Big(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\Big).}$

En centrant et réduisant, on obtient la variable pivot : $Y_n=\sqrt{n}\cdot\dfrac{\overline{X}_n-\mu}{\sigma}\sim\mathcal{N}(0,1)$ .

3.3 Construction de l’intervalle

Soit $t_\alpha>0$ le réel tel que $\Phi(t_\alpha)=1-\dfrac{\alpha}{2}$ , où $\Phi$ est la fonction de répartition de $\mathcal{N}(0,1)$ .

Rappel : quantile de la loi normale

Le réel $t_\alpha$ vérifie : $\mathbb{P}(-t_\alpha\leqslant Y_n\leqslant t_\alpha)=\Phi(t_\alpha)-\Phi(-t_\alpha)=2\Phi(t_\alpha)-1=1-\alpha$ .

Valeurs courantes :

Risque $\alpha$	0,05	0,01	0,10
Confiance $1-\alpha$	95 %	99 %	90 %
$t_\alpha$	≈ 1,96	≈ 2,58	≈ 1,645

Dérivation pas à pas. On part de $\mathbb{P}(-t_\alpha\leqslant Y_n\leqslant t_\alpha)=1-\alpha$ . En remplaçant $Y_n$ par $\sqrt{n}\,\dfrac{\overline{X}_n-\mu}{\sigma}$ et en isolant $\mu$ :

$-t_\alpha\leqslant\sqrt{n}\,\frac{\overline{X}_n-\mu}{\sigma}\leqslant t_\alpha\iff-t_\alpha\frac{\sigma}{\sqrt n}\leqslant\overline{X}_n-\mu\leqslant t_\alpha\frac{\sigma}{\sqrt n}\iff\overline{X}_n-t_\alpha\frac{\sigma}{\sqrt n}\leqslant\mu\leqslant\overline{X}_n+t_\alpha\frac{\sigma}{\sqrt n}.$

Intervalle de confiance – loi normale, σ connu

Sous les hypothèses ci-dessus, l’intervalle de confiance de $\mu$ au niveau $1-\alpha$ est :

$\boxed{\Big[\overline{X}_n-t_\alpha\frac{\sigma}{\sqrt n}\,,\ \overline{X}_n+t_\alpha\frac{\sigma}{\sqrt n}\Big]}\qquad\text{où } t_\alpha=\Phi^{-1}\Big(1-\frac{\alpha}{2}\Big).$

Application numérique

On mesure la taille de $n=36$ étudiants. On suppose que la taille suit une loi $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ avec $\sigma=8$ cm (connu). On observe $\overline{x}_{36}=172$ cm.

Pour un niveau de confiance de $95\,\%$ ( $\alpha=0{,}05$ , $t_\alpha\approx1{,}96$ ) : $\varepsilon=t_\alpha\dfrac{\sigma}{\sqrt n}=1{,}96\times\dfrac{8}{\sqrt{36}}=1{,}96\times\dfrac86\approx2{,}61$ cm.

L’intervalle de confiance est $[172-2{,}61\,;\,172+2{,}61]=[169{,}39\,;\,174{,}61]$ .

Interprétation : on est confiant à $95\,\%$ que la taille moyenne des étudiants se situe entre $169{,}4$ cm et $174{,}6$ cm.

Observations importantes

Quand $n$ augmente, l’intervalle rétrécit (sa longueur est proportionnelle à $\frac{1}{\sqrt n}$ ) : plus on a de données, plus on est précis.
Quand on augmente la confiance (on diminue $\alpha$ ), l’intervalle s’élargit ( $t_\alpha$ augmente) : plus on veut être sûr, moins on est précis.
Il y a donc un compromis entre la confiance et la précision.

4. Intervalles de confiance asymptotiques

4.1 Motivation

Dans l’exemple précédent, on a eu la chance de connaître la loi exacte de $\overline{X}_n$ . En pratique, on ne connaît pas toujours la loi exacte de l’estimateur. C’est là qu’intervient le théorème central limite (TCL), qui donne une approximation de la loi pour $n$ grand.

Le prix à payer : le résultat n’est qu’asymptotique, c’est-à-dire valable « quand $n$ est assez grand ».

4.2 Définition

Intervalle de confiance asymptotique

Soit $\alpha\in\,]0,1[$ . Soient $U_n$ et $V_n$ deux estimateurs de $g(\theta)$ tels que, pour tout $\theta\in\Theta$ :

$\boxed{\mathbb{P}_\theta\big(g(\theta)\in[U_n,V_n]\big)\geqslant1-\alpha_n\quad\text{avec}\quad\alpha_n\xrightarrow[n\to+\infty]{}\alpha.}$

On dit que $[U_n,V_n]$ est un intervalle de confiance asymptotique de $g(\theta)$ avec un risque d’au plus $\alpha$ (ou au niveau de confiance au moins $1-\alpha$ ).

Différence avec l’IC exact

Pour un intervalle de confiance exact, la probabilité $\mathbb{P}\big(g(\theta)\in[U_n,V_n]\big)\geqslant1-\alpha$ est vraie pour tout $n$ . Pour un IC asymptotique, la probabilité est $\geqslant1-\alpha_n$ avec $\alpha_n\to\alpha$ : la garantie n’est parfaite que quand $n$ est grand.

4.3 Exemple phare : intervalle asymptotique pour p (loi de Bernoulli)

Intervalle asymptotique pour le paramètre p

On reprend le même modèle de sondage que précédemment : $(X_1,\dots,X_n)$ i.i.d. de loi $\mathcal{B}(p)$ .

Étape 1 – Loi de la somme. Par indépendance : $n\overline{X}_n=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_i\sim\mathcal{B}(n,p)$ (loi binomiale).

Étape 2 – Application du TCL. Le théorème central limite donne :

$X_n^*=\frac{\overline{X}_n-\mathbb{E}(\overline{X}_n)}{\sqrt{\mathbb{V}(\overline{X}_n)}}=\sqrt n\cdot\frac{\overline{X}_n-p}{\sqrt{p(1-p)}}\xrightarrow[n\to+\infty]{\mathcal{L}}Z\sim\mathcal{N}(0,1).$

Étape 3 – Encadrement. Soit $t_\alpha>0$ tel que $\Phi(t_\alpha)=1-\frac{\alpha}{2}$ . On a :

$\mathbb{P}\Big(-t_\alpha\leqslant\sqrt n\cdot\frac{\overline{X}_n-p}{\sqrt{p(1-p)}}\leqslant t_\alpha\Big)\xrightarrow[n\to+\infty]{}\Phi(t_\alpha)-\Phi(-t_\alpha)=1-\alpha.$

En isolant $p$ , on obtient l’intervalle :

$\Big[\overline{X}_n-t_\alpha\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}\,,\ \overline{X}_n+t_\alpha\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}\Big].$

Étape 4 – Éliminer $p$ . Le problème est que les bornes dépendent encore de $p$ (qu’on ne connaît pas). On utilise encore $p(1-p)\leqslant\frac14$ :

$\Big[\overline{X}_n-t_\alpha\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}\,,\ \overline{X}_n+t_\alpha\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}\Big]\subset\Big[\overline{X}_n-\frac{t_\alpha}{2\sqrt n}\,,\ \overline{X}_n+\frac{t_\alpha}{2\sqrt n}\Big].$

Par croissance de la probabilité, on en déduit : $\mathbb{P}\Big(\overline{X}_n-\dfrac{t_\alpha}{2\sqrt n}\leqslant p\leqslant\overline{X}_n+\dfrac{t_\alpha}{2\sqrt n}\Big)\geqslant1-\alpha_n$ avec $\alpha_n\to\alpha$ .

Conclusion. L’intervalle de confiance asymptotique de $p$ au niveau $1-\alpha$ est :

$\boxed{\Big[\overline{X}_n-\frac{t_\alpha}{2\sqrt n}\,,\ \overline{X}_n+\frac{t_\alpha}{2\sqrt n}\Big].}$

Application numérique. Pour $\alpha=0{,}05$ ( $t_\alpha\approx1{,}96$ ) et $n=1000$ : $\varepsilon=\dfrac{1{,}96}{2\sqrt{1000}}=\dfrac{1{,}96}{63{,}25}\approx0{,}031$ . L’intervalle est $[\overline{X}_n-0{,}031\,;\,\overline{X}_n+0{,}031]$ , soit une marge de $\pm3{,}1$ points de pourcentage. C’est bien plus précis que l’intervalle par Bienaymé-Tchebychev !

5. Synthèse et comparaison des méthodes

	Bienaymé-Tchebychev	TCL (asymptotique)
Hypothèses	Très faibles (existence de la variance)	$n$ assez grand
IC pour $p$ (Bernoulli)	$\overline{X}_n\pm\dfrac{1}{2\sqrt{n\alpha}}$	$\overline{X}_n\pm\dfrac{t_\alpha}{2\sqrt n}$
Pour $n=100$ , $\alpha=0{,}05$	$\pm0{,}22$	$\pm0{,}098$
Précision	Faible (intervalle large)	Bonne (intervalle étroit)
Validité	Exacte pour tout $n$	Approximative (bonne dès $n\geqslant30$ )

Morale

L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev est un outil universel mais peu précis. Dès que $n$ est assez grand, on préfère utiliser le TCL pour construire des intervalles asymptotiques beaucoup plus étroits. En pratique, c’est le TCL qui est systématiquement utilisé dans les sondages.

6. Formulaire récapitulatif

Formules à retenir

1. Loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ , méthode de Bienaymé-Tchebychev :

$\text{IC de }p:\ \Big[\overline{X}_n-\frac{1}{2\sqrt{n\alpha}}\,,\ \overline{X}_n+\frac{1}{2\sqrt{n\alpha}}\Big]\quad(\text{exact, niveau }1-\alpha).$

2. Loi normale $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ , $\sigma$ connu :

$\text{IC de }\mu:\ \Big[\overline{X}_n-t_\alpha\frac{\sigma}{\sqrt n}\,,\ \overline{X}_n+t_\alpha\frac{\sigma}{\sqrt n}\Big]\quad(\text{exact, niveau }1-\alpha).$

3. Loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ , méthode du TCL :

$\text{IC de }p:\ \Big[\overline{X}_n-\frac{t_\alpha}{2\sqrt n}\,,\ \overline{X}_n+\frac{t_\alpha}{2\sqrt n}\Big]\quad(\text{asymptotique, niveau }1-\alpha).$

Quantiles usuels de $\mathcal{N}(0,1)$ : $t_{0,05}\approx1{,}96$ ; $t_{0,01}\approx2{,}58$ ; $t_{0,10}\approx1{,}645$ .

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Chapitre XIII — Estimation par intervalles de confiance (PDF)

Intervalles de confiance sans stress – Le cours qui simplifie tout (ECG)

Introduction

Pourquoi les intervalles de confiance ?

1. Intervalle de confiance : définition

1.1 Cadre général

1.2 Vocabulaire et conventions

1.3 En pratique

2. Construction par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev

2.1 Rappel de l’inégalité

2.2 Construction de l’intervalle

2.3 Exemple : estimation de p pour une loi de Bernoulli

3. Intervalle de confiance pour la moyenne d’une loi normale

3.1 Cadre et hypothèses

3.2 La moyenne empirique et sa loi

3.3 Construction de l’intervalle

4. Intervalles de confiance asymptotiques

4.1 Motivation

4.2 Définition

4.3 Exemple phare : intervalle asymptotique pour p (loi de Bernoulli)

5. Synthèse et comparaison des méthodes

6. Formulaire récapitulatif

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Pour aller plus loin

Exercices ECT : Lois discrètes finies.

Programme de Mathématiques Appliquées en ECG2 :

Cours : Espaces probabilisés finis

Intervalles de confiance aux concours : 5 exercices types corrigés (EDHEC, ECRICOME, EML)

Programme de Mathématiques Approfondies en ECG1 :

Intervalles de confiance : 12 exercices corrigés pour les ECG

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Pourquoi les intervalles de confiance ?

1. Intervalle de confiance : définition

1.1 Cadre général

1.2 Vocabulaire et conventions

1.3 En pratique

2. Construction par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev

2.1 Rappel de l’inégalité

2.2 Construction de l’intervalle

2.3 Exemple : estimation de p pour une loi de Bernoulli

3. Intervalle de confiance pour la moyenne d’une loi normale

3.1 Cadre et hypothèses

3.2 La moyenne empirique et sa loi

3.3 Construction de l’intervalle

4. Intervalles de confiance asymptotiques

4.1 Motivation

4.2 Définition

4.3 Exemple phare : intervalle asymptotique pour p (loi de Bernoulli)

5. Synthèse et comparaison des méthodes

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