Intervalles de confiance aux concours : 5 exercices types corrigés (EDHEC, ECRICOME, EML)

Introduction

L’estimation par intervalle de confiance tombe régulièrement aux concours BCE et ECRICOME, souvent en fin de problème de probabilités. Les exercices qui suivent sont inspirés de sujets réels d’EDHEC, ECRICOME et EML. Ils couvrent les situations classiques : sondage électoral et taille d’échantillon, loi géométrique avec Slutsky, sondage confidentiel avec randomisation, loi exponentielle et maximum de vraisemblance, et capture-recapture. Chaque exercice est intégralement corrigé.

Données

On donne \Phi(1{,}645)=0{,}95, \Phi(1{,}96)=0{,}975, \Phi(2{,}576)=0{,}995, où \Phi est la fonction de répartition de \mathcal{N}(0,1). On rappelle que \forall p\in[0,1],\ p(1-p)\leqslant\frac14.

Exercice 1 · Le candidat A sera-t-il élu ? (d’après EDHEC, maths appliquées) ★★★

Dans un pays fictif, des électeurs doivent choisir entre deux candidats A et B. On note p la proportion d’électeurs désirant voter pour A. On choisit un échantillon (X_1,\dots,X_n) où X_i=1 si la i-ème personne vote pour A, et 0 sinon. Les X_i sont i.i.d. de loi \mathcal{B}(p).

  1. Donner \mathbb{E}(X_i), \mathbb{V}(X_i), \mathbb{E}(\overline{X}_n) et \mathbb{V}(\overline{X}_n).
  2. Énoncer le théorème central limite appliqué à \overline{X}_n.
  3. En déduire que, pour n assez grand : \mathbb{P}\Big(\overline{X}_n-\dfrac{t_\alpha}{2\sqrt n}\leqslant p\leqslant\overline{X}_n+\dfrac{t_\alpha}{2\sqrt n}\Big)\geqslant1-\alpha_n avec \alpha_n\to\alpha. On justifiera l’utilisation de la majoration p(1-p)\leqslant\frac14.
  4. On interroge n=100 personnes. On observe \overline{x}_n=0{,}55. Donner un IC asymptotique de p au niveau 95\,\%.
  5. Peut-on déclarer, au risque 5\,\%, que le candidat A sera élu ?
  6. Quel effectif minimal n_0 faudrait-il pour pouvoir conclure à l’élection de A (toujours avec \overline{x}_n=0{,}55) au risque 5\,\% ?
Corrigé

1. \mathbb{E}(X_i)=p, \mathbb{V}(X_i)=p(1-p), \mathbb{E}(\overline{X}_n)=p, \mathbb{V}(\overline{X}_n)=\frac{p(1-p)}{n}.

2. Par le TCL, comme les X_i sont i.i.d. et admettent une variance : \sqrt n\cdot\dfrac{\overline{X}_n-p}{\sqrt{p(1-p)}}\xrightarrow[n\to+\infty]{\mathcal{L}}\mathcal{N}(0,1).

3. Soit t_\alpha>0 tel que \Phi(t_\alpha)=1-\frac\alpha2. Asymptotiquement : \mathbb{P}\Big(-t_\alpha\leqslant\sqrt n\cdot\frac{\overline{X}_n-p}{\sqrt{p(1-p)}}\leqslant t_\alpha\Big)\to1-\alpha. En isolant p dans l’encadrement, on obtient un IC dont les bornes dépendent de p. Or p(1-p)\leqslant\frac14 (maximum de f(p)=p-p^2 atteint en p=\frac12). Par croissance de la probabilité : \mathbb{P}\Big(\overline{X}_n-\frac{t_\alpha}{2\sqrt n}\leqslant p\leqslant\overline{X}_n+\frac{t_\alpha}{2\sqrt n}\Big)\geqslant1-\alpha_n avec \alpha_n\to\alpha.

4. \varepsilon=\frac{1{,}96}{2\sqrt{100}}=\frac{1{,}96}{20}=0{,}098. IC : [0{,}55-0{,}098\,;\,0{,}55+0{,}098]=[0{,}452\,;\,0{,}648].

5. Non : 0{,}5\in[0{,}452\,;\,0{,}648]. On ne peut pas affirmer que p>0{,}5 au risque 5\,\%.

6. On veut \overline{x}_n-\frac{t_\alpha}{2\sqrt n}>0{,}5, soit 0{,}55-\frac{1{,}96}{2\sqrt n}>0{,}5, d’où \frac{1{,}96}{2\sqrt n}<0{,}05, \sqrt n>19{,}6, donc \boxed{n_0=385}.

Exercice 2 · Loi géométrique (d’après ECRICOME, maths appliquées) ★★★

Soit p\in\,]0,1[ et X une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre p : pour tout k\in\mathbb{N}^*, \mathbb{P}(X=k)=(1-p)^{k-1}p. On pose q=1-p. Pour tout n\in\mathbb{N}^*, on considère un n-échantillon (X_1,\dots,X_n) de même loi que X.

  1. Rappeler que \mathbb{E}(X)=\frac1p et \mathbb{V}(X)=\frac{q}{p^2}.
  2. Montrer que T_n=\frac{1}{\overline{X}_n} est un estimateur de p. Est-il sans biais ?
  3. En appliquant le TCL à \overline{X}_n, montrer que : \sqrt n\cdot\dfrac{\overline{X}_n-1/p}{\sqrt q/p}\xrightarrow[n\to+\infty]{\mathcal{L}}\mathcal{N}(0,1).
  4. On admet que l’on peut remplacer \frac{\sqrt q}{p} par \frac{\sqrt{1-T_n}}{T_n} dans l’expression précédente (lemme de Slutsky). En déduire un intervalle de confiance asymptotique de \frac1p au niveau 1-\alpha.
  5. On suppose n=900 et \overline{x}_n=4. Donner un IC de \frac1p au niveau 95\,\%. En déduire une fourchette pour p.
Corrigé

1. Résultat classique : \mathbb{E}(X)=\frac1p=\frac{1}{1-q} et \mathbb{V}(X)=\frac{q}{p^2}.

2. T_n=\frac{1}{\overline{X}_n} estime p car \mathbb{E}(\overline{X}_n)=\frac1p, donc \overline{X}_n\to\frac1p (loi des grands nombres) et, par continuité, T_n\to p. Mais T_n n’est pas sans biais en général (\mathbb{E}(1/\overline{X}_n)\neq1/\mathbb{E}(\overline{X}_n), par l’inégalité de Jensen).

3. Le TCL appliqué aux X_i i.i.d. admettant une variance donne : \sqrt n\cdot\dfrac{\overline{X}_n-1/p}{\sqrt{\mathbb{V}(X_i)}}=\sqrt n\cdot\dfrac{\overline{X}_n-1/p}{\sqrt q/p}\xrightarrow{\mathcal{L}}\mathcal{N}(0,1).

4. Par Slutsky, on remplace \frac{\sqrt q}{p} par \frac{\sqrt{1-T_n}}{T_n} : \mathbb{P}\Big(-t_\alpha\leqslant\dfrac{\sqrt n\,(\overline{X}_n-1/p)}{\sqrt{1-T_n}/T_n}\leqslant t_\alpha\Big)\to1-\alpha. En isolant \frac1p : IC =\Big[\overline{X}_n-\frac{t_\alpha}{\sqrt n}\cdot\frac{\sqrt{1-T_n}}{T_n},\ \overline{X}_n+\frac{t_\alpha}{\sqrt n}\cdot\frac{\sqrt{1-T_n}}{T_n}\Big].

5. \overline{x}_n=4, T_n=0{,}25, \frac{\sqrt{1-0{,}25}}{0{,}25}=\frac{\sqrt{0{,}75}}{0{,}25}=\frac{0{,}866}{0{,}25}=3{,}464. \varepsilon=\frac{1{,}96}{30}\times3{,}464=0{,}226. IC de \frac1p : [3{,}774\,;\,4{,}226]. Donc p\in\Big[\frac{1}{4{,}226}\,;\,\frac{1}{3{,}774}\Big]=\boxed{[0{,}237\,;\,0{,}265]}.

Exercice 3 · Sondage confidentiel (d’après EDHEC, maths approfondies) ★★★

Certains sujets d’opinion sont intimes et les personnes interrogées risquent de ne pas répondre franchement. On utilise le protocole suivant : avant de répondre à la question, chaque personne lance un dé équilibré (l’enquêteur ne voit pas le résultat).

  • si le résultat est pair, la personne répond sincèrement ;
  • si le résultat est impair, la personne répond « oui » quoi qu’il en soit.

On note p la proportion réelle de personnes concernées par le caractère étudié. On interroge n personnes. On note Y_i=1 si la i-ème personne répond « oui » et Y_i=0 sinon. Les Y_i sont supposées i.i.d.

  1. À l’aide d’un arbre, montrer que \mathbb{P}(Y_i=1)=\frac{1+p}{2}.
  2. Calculer \mathbb{E}(Y_i) et \mathbb{V}(Y_i). Montrer que \mathbb{V}(Y_i)\leqslant\frac14.
  3. En déduire un estimateur sans biais \widehat{p}_n de p à partir de \overline{Y}_n.
  4. Montrer que \widehat{p}_n est un estimateur convergent de p.
  5. En utilisant le TCL et la majoration de \mathbb{V}(Y_i), construire un IC asymptotique de p au niveau 1-\alpha.
  6. Application : n=1\,000 personnes sont interrogées et on recueille 625 réponses « oui ». Donner un IC de p au niveau 95\,\%. Interpréter.
Corrigé

1. Arbre : \mathbb{P}(Y_i=1)=\mathbb{P}(\text{pair})\cdot p+\mathbb{P}(\text{impair})\cdot1=\frac12p+\frac12=\frac{1+p}{2}.

2. \mathbb{E}(Y_i)=\frac{1+p}{2} et \mathbb{V}(Y_i)=\frac{1+p}{2}\cdot\frac{1-p}{2}=\frac{1-p^2}{4}\leqslant\frac14 car p^2\geqslant0.

3. \mathbb{E}(Y_i)=\frac{1+p}{2} donne p=2\mathbb{E}(Y_i)-1. L’estimateur \widehat{p}_n=2\overline{Y}_n-1 est sans biais : \mathbb{E}(\widehat{p}_n)=2\cdot\frac{1+p}{2}-1=p.

4. \mathbb{V}(\widehat{p}_n)=4\mathbb{V}(\overline{Y}_n)=\frac{4\mathbb{V}(Y_i)}{n}=\frac{1-p^2}{n}\to0. Par Bienaymé-Tchebychev, \widehat{p}_n est convergent.

5. Par le TCL sur \overline{Y}_n et \mathbb{V}(Y_i)\leqslant\frac14, l’IC de \mathbb{E}(Y_i) est \Big[\overline{Y}_n\pm\frac{t_\alpha}{2\sqrt n}\Big]. Comme p=2\mathbb{E}(Y_i)-1, on transforme :

    \[\boxed{\text{IC de }p=\Big[2\overline{Y}_n-1-\frac{t_\alpha}{\sqrt n}\,,\ 2\overline{Y}_n-1+\frac{t_\alpha}{\sqrt n}\Big].}\]

6. \overline{y}_n=\frac{625}{1000}=0{,}625, \widehat{p}_n=2\times0{,}625-1=0{,}25, \frac{t_\alpha}{\sqrt n}=\frac{1{,}96}{\sqrt{1000}}=0{,}062. IC : [0{,}25-0{,}062\,;\,0{,}25+0{,}062]=\boxed{[0{,}188\,;\,0{,}312]}. On estime entre 18{,}8\,\% et 31{,}2\,\% la proportion réelle. L’intervalle est large : c’est le prix de l’anonymat garanti par le protocole.

Exercice 4 · Durée de vie d’un composant (d’après EML / EDHEC, maths appliquées) ★★★

On étudie la durée de vie (en milliers d’heures) d’un composant électronique. On modélise cette durée par une variable aléatoire X suivant une loi exponentielle \mathcal{E}(\lambda), \lambda>0 inconnu. On dispose d’un n-échantillon (X_1,\dots,X_n) i.i.d. de même loi que X.

  1. Rappeler \mathbb{E}(X) et \mathbb{V}(X). Montrer que \overline{X}_n est un estimateur sans biais et convergent de \mu=\frac1\lambda.
  2. Écrire la vraisemblance L_n(\lambda) du n-échantillon. Montrer que l’estimateur du maximum de vraisemblance de \lambda est \widehat{\lambda}_n=\frac{1}{\overline{X}_n}.
  3. En appliquant le TCL, montrer que Z_n=\sqrt n\cdot\frac{\overline{X}_n-\mu}{\mu}\xrightarrow{\mathcal{L}}\mathcal{N}(0,1).
  4. En remplaçant \mu par \overline{X}_n au dénominateur (Slutsky), en déduire l’IC asymptotique : \Big[\overline{X}_n\Big(1-\frac{t_\alpha}{\sqrt n}\Big)\,;\,\overline{X}_n\Big(1+\frac{t_\alpha}{\sqrt n}\Big)\Big].
  5. On teste n=50 composants et on observe \overline{x}_n=4{,}2 (milliers d’heures). Donner un IC de \mu au niveau 95\,\%. Le fabricant garantit une durée de vie moyenne d’au moins 3\,500 heures. Cette garantie est-elle compatible avec les observations ?
Corrigé

1. \mathbb{E}(X)=\frac1\lambda=\mu et \mathbb{V}(X)=\frac{1}{\lambda^2}=\mu^2. \mathbb{E}(\overline{X}_n)=\mu (sans biais), \mathbb{V}(\overline{X}_n)=\frac{\mu^2}{n}\to0 (convergent par Bienaymé-Tchebychev).

2. L_n(\lambda)=\prod_{i=1}^{n}\lambda e^{-\lambda x_i}=\lambda^ne^{-\lambda(x_1+\dots+x_n)}. On dérive \ell_n(\lambda)=\ln L_n(\lambda)=n\ln\lambda-\lambda n\overline{x}_n : \ell_n'(\lambda)=\frac n\lambda-n\overline{x}_n=0\Rightarrow\widehat{\lambda}_n=\frac{1}{\overline{x}_n}=\frac{1}{\overline{X}_n}. Le signe de \ell_n''=-\frac{n}{\lambda^2}<0 confirme le maximum.

3. Z_n=\sqrt n\cdot\dfrac{\overline{X}_n-\mu}{\sqrt{\mathbb{V}(X)}}=\sqrt n\cdot\dfrac{\overline{X}_n-\mu}{\mu}\xrightarrow{\mathcal{L}}\mathcal{N}(0,1) par le TCL.

4. Par Slutsky (remplacement de \mu par \overline{X}_n au dénominateur) : \mathbb{P}\Big(-t_\alpha\leqslant\frac{\sqrt n(\overline{X}_n-\mu)}{\overline{X}_n}\leqslant t_\alpha\Big)\to1-\alpha, et -t_\alpha\leqslant\frac{\sqrt n(\overline{X}_n-\mu)}{\overline{X}_n}\leqslant t_\alpha\iff\overline{X}_n\Big(1-\frac{t_\alpha}{\sqrt n}\Big)\leqslant\mu\leqslant\overline{X}_n\Big(1+\frac{t_\alpha}{\sqrt n}\Big).

5. \frac{t_\alpha}{\sqrt n}=\frac{1{,}96}{\sqrt{50}}=0{,}277. IC : [4{,}2\times0{,}723\,;\,4{,}2\times1{,}277]=[3{,}037\,;\,5{,}363] (milliers d’heures), soit [3\,037\,;\,5\,363] heures. Comme 3\,037<3\,500, la borne inférieure est en dessous de la garantie : on ne peut pas confirmer la garantie au niveau 95\,\%.

Exercice 5 · Capture-recapture (d’après EDHEC / Gaunard, maths appliquées) ★★★

Pour estimer le nombre N de poissons dans un étang, on en capture K que l’on marque puis relâche. Le lendemain, on pêche n poissons (avec remise). Pour i\in\{1,\dots,n\}, on note X_i=1 si le i-ème poisson est marqué, 0 sinon. Les X_i sont i.i.d. de loi \mathcal{B}\big(\frac KN\big). On pose p=\frac KN le paramètre inconnu (puisque N est inconnu, K étant connu).

  1. Donner \mathbb{E}(X_i) et \mathbb{V}(X_i) en fonction de p.
  2. Montrer que \overline{X}_n est un estimateur sans biais et convergent de p.
  3. En déduire un estimateur naturel \widehat{N}_n de N à partir de \overline{X}_n et K.
  4. En utilisant le TCL et la majoration p(1-p)\leqslant\frac14, construire un IC asymptotique de p au niveau 1-\alpha.
  5. Application : K=80 poissons marqués. On pêche n=200 poissons et on observe 12 poissons marqués. Estimer N ponctuellement. Donner un IC de p au niveau 95\,\% et en déduire un encadrement de N.
Corrigé

1. X_i\sim\mathcal{B}(p) avec p=K/N : \mathbb{E}(X_i)=p, \mathbb{V}(X_i)=p(1-p).

2. \mathbb{E}(\overline{X}_n)=p (sans biais) ; \mathbb{V}(\overline{X}_n)=\frac{p(1-p)}{n}\to0, donc \overline{X}_n est convergent par Bienaymé-Tchebychev.

3. \overline{X}_n estime p=K/N, donc N=K/p\approx K/\overline{X}_n : \widehat{N}_n=\frac{K}{\overline{X}_n}.

4. Par le TCL et p(1-p)\leqslant\frac14 : IC de p =\Big[\overline{X}_n-\frac{t_\alpha}{2\sqrt n},\ \overline{X}_n+\frac{t_\alpha}{2\sqrt n}\Big].

5. \overline{x}_n=\frac{12}{200}=0{,}06. Estimation ponctuelle : \widehat{N}=\frac{80}{0{,}06}\approx1\,333 poissons. \varepsilon=\frac{1{,}96}{2\sqrt{200}}=\frac{1{,}96}{28{,}28}=0{,}0693. IC de p : [0{,}06-0{,}069\,;\,0{,}06+0{,}069]. On tronque à 0 (car p>0) : p\in\,]0\,;\,0{,}129] ; la borne gauche est presque nulle, l’IC est très large.

Encadrement de N=K/p : la borne supérieure n’est pas exploitable, mais on obtient la borne réaliste \boxed{N\geqslant\dfrac{80}{0{,}129}\approx620} poissons.

Remarque : l’IC est très large car n=200 est faible par rapport à N. On n’a capturé que 12 poissons marqués, ce qui donne peu de précision. En pratique, on augmenterait n ou K.

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Exercices type concours — Estimation et intervalles de confiance (PDF)

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